Главная Перейти к главной странице
Введение I. Теория чисел Теорема Вильсона Две теоремы Ферма Распределение простых чисел Неравенства Чебышева II. Анализ III. Модели IV. Задачи
Обозначения Литература

Неравенства Чебышева


Приведённое выше рассуждение типично для теории распределения простых в том отношении, что даже довольно хитроумные построения очень часто приводят в итоге к весьма слабым результатам. Замечательным исключением являются оценки для функции распределения простых чисел π(x), найденные

П.Л.Чебышев
Рис. 1. П. Л. Чебышев (1821–1894)

русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым. Неравенства Чебышёва это — по существу, первое со времён Евклида существенное продвижение в теории распределения простых чисел в натуральном ряду. Эта его работа, как и многие другие [7], до сих пор поражает своим «необыкновенным остроумием и проникновением в существо вопроса» (И. М. Виноградов, Б. Н. Делоне).

Первый шаг на пути к получению оценок для π(x) состоит в замене этой крайне «неудобной» функции на другие, работать с которыми будет много легче.

Определение 4.1. Функциями Чебышёва называют функции

θ(x) =   p ≤ x lnp,     ψ(x) =   pk ≤ x lnp,

где суммы берутся по всем простым числам, не превосходящим вещественного x и по всем степеням простых, не превосходящим x, соответственно.

Эти функции, несмотря на некоторую кажущуюся сложность в их определении, во многих вопросах теории распределения простых чисел оказываются более предпочтительны, чем π(x).


функции Чебышёва

Рис. 2. Функции π(x)lnx/x, ψ(x)/x, θ(x)/x.

Асимптотическое поведение θ(x), ψ(x) и функции π(x) тесно связаны. Точнее

Теорема 4.1. Пусть λ1, λ2, λ3 и Λ1, Λ2, Λ3 обозначают соответственно нижние и верхние пределы при x → ∞ функций θ(x) x ,   ψ(x) x ,   π(x) x/lnx ,  

тогда

λ1 = λ2 = λ3 = λ     Λ1 = Λ2 = Λ3 = Λ.

Непосредственно из этой теоремы вытекает важное

Следствие 4.1. Если одна из функций (1) имеет конечный предел, то и две другие имеют тот же предел.

Следующий шаг наших рассуждений — тождество Чебышёва ψ(x) + ψ(x/2) + ψ(x/3) + ... = ln[x]!

Оценки для функции распределения простых π(x) получаются из данных утверждений с помощью элементарных* рассуждений.

Теорема 4.2 (Чебышёв) Существуют положительные вещественные константы a, A, такие, что a < A и выполняются неравенства a x lnx < π(x) < A x lnx

или, применительно к n-му простому числу, найдутся положительные вещественные константы b, B, такие, что b < B и справедливы неравенства bnln(n) < pn < Bnln(n).

Подробный вывод всех перечисленных утверждений см. в [8].



* Под «элементарными» здесь подразумеваются доказательства, не содержа­щие методов теории функций комплексного переменного, абстрактной алгебры и т.п., а имеющие преимущественно арифметическую природу. Такие элементар­ные методы не обязательно просты технически.