Главная Перейти к главной странице
Введение I. Теория чисел II. Анализ Теорема Архимеда о шаре и цилиндре Брахистохрона III. Модели IV. Задачи
Обозначения Литература

Теорема Архимеда о шаре и цилиндре


Архимед (Αρχιμηδης, ок. 287–212 гг. до н. э.) — без сомнения, один из самых гениальных математиков всех времён и народов. Многие его математические и технические работы намного опередили свое время. Также Архимед является основоположником статики, гидростатики и математической физики вообще, он

Архимед
Рис. 1. Архимед (?)

был выдающимся астрономом и замечательным инженером [3]. Древнегреческий историк Плутарх в своих «Сравнительных жизнеописаниях» (биография Марцелла) [4] пишет:

во всей геометрии не найти более трудных и сложных задач, объясненных посредством более простых и прозрачных основных положений. Некоторые приписывают это природному дарованию Архимеда, другие же считают, что лишь благодаря огромному труду все до малейших частностей у него кажется возникшим легко и без всякого труда. Собственными силами вряд ли кто найдет предлагаемое Архимедом доказательство, но стоит углубиться в него — и появляется уверенность, что ты и сам мог бы его открыть: таким легким и быстрым путем ведет к цели Архимед.

Наверное, трудно дать более краткую и ясную характеристику настоящему математическому таланту, чем это сделал Плутарх, — философ, писатель, римский прокуратор провинции Ахея и жрец храма Аполлона.

Рассмотрим задачу об определениии объёма шара, впервые решённую Архимедом и которую, по всей видимости, он сам считал самым выдающимся своим достижением в математике: чертеж шара, вписанного в цилиндр, был помещен на его надгробии. Решение основано на известных формулах для объёмов цилиндра: πR2H и конуса: πR2H/3, с радиусами основания R и высотой H. Решение Архимеда «просто, как и всё гениальное», и потому красиво.

Вначале найдём объём конуса, пользуясь методом исчерпывания, сформулированным Евдоксом Книдским (IV в. до н. э.) и далее развитым Архимедом. Конус аккуратно нарезаем (мысленно, конечно) колечками (цилиндрами) малой высоты ε, как показано на рис. 2. Величина ε = H/n, где n — количество колечек, настолько мала (и станет ещё меньше), что наши колечки по форме будут мало отличаться от тех, что изображены на рисунке, — некоторая «шершавость» поверхности далее, с уменьшением ε (увеличением числа n), быстро сойдёт на нет. Таким образом, разница между объёмом конуса и объёмом нашей замечательной конструкции из колец с уменьшением ε, или, что то же самое, с увеличением n, будет становиться всё меньше и меньше, откуда и происходит название метода.



К определению объёма конуса

Рис. 2. К определению объёма конуса

В соответствии с рис. 2, пользуясь подобием треугольника, выделенного цветом, и OAB, получаем H ε = R δ откуда δ = εR/H. Поэтому объём k-го по порядку (для определённости считаем их снизу) колечка (цилиндра) равен Vk = (R − δk)2πε = R − εR H k 2 πε = πR2H n 1 − k n 2 = πR2H n3 (n − k)2

А общий объём всех колечек равен

πR2H n3 n k = 1 (n − k)2 = πR2H n3 n − 1 m = 0 m2 =  
= πR2H n3 ((n − 1)3/3 + (n − 1)2/2 + (n − 1)/6)
Здесь использована известная формула для суммирования квадратов N k = 1 k2 = 1 3 N3 + 1 2 N2 + 1 6 N, которую не трудно доказать по индукции или вывести другим путём.

Из соотношения (1) при ε → 0, или при n → ∞ (Архимед, конечно, пользовался предельным переходом в неявной форме, но все его рассуждения имеют достаточно строгую форму), легко получается формула для объёма конуса.



К определению объёма конуса
Рис. 3. Решение задачи Архимеда о шаре

Теперь всё готово для решения задачи. Цилиндр, конус, у которых R = H = 1, и половину шара, также единичного радиуса, нарезаем колечками малой высоты ε, как показано на рис. 3. Для всех трёх тел вычислим объём колечек, находящихся на высоте h, получим πε,   πε(1 − h)2,   πε( 1 − (1 − h)2)

соответственно, для цилиндра, конуса и полушара. Для полушара радиус колечка находится из теоремы Пифагора: 1 − (1 − h)2. Таким образом, в пределе при неограниченном уменьшении ε имеем

Теорема 1.1 (Архимед) Объём шара радиуса 1 равен 4π/3.

Не трудно видеть, что идея метода Архимеда решения данной задачи — это не что иное, как интегрирование. Блестящие идеи Евдокса и Архимеда получили своё дальнейшее развитие спустя 1800 лет. Трудно не согласиться, что

Архимеда будут помнить, даже когда забудут Эсхила потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало. [1]