Главная Перейти к главной странице
Введение I. Теория чисел II. Анализ Теорема Архимеда о шаре и цилиндре Брахистохрона III. Модели IV. Задачи
Обозначения Литература

Брахистохрона


В 1696 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли (Johann Bernoulli) была поставлена следующая задача:

В вертикальной плоскости даны две точки A и B, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.

Искомая кривая была впоследствии названа брахистохрона (от греч. βραχιστος — кратчайший и χρονος — время) — траектория скорейшего спуска. Задача была разными способами независимо друг от друга решена Лейбницем, Якобом Бернулли (братом И. Бернулли), Г. Лопиталем, И. Ньютоном и самим Иоганном Бернулли. Это была первая в истории проблема вариационного исчисления — раздела математики, который в то время ещё не был создан.

Архимед
Рис. 1. Иоганн и Якоб Бернулли

Решение Я. Бернулли выделялось из всех представленных как своей нетривиальностью, так и общностью применяемых методов [10]. Первым принципом, из которого исходил Я. Бернулли при решении, был тот, что если кривая имеет какое-либо свойство, то тем же свойством должна обладать и любая её часть. Эта идея позволила разбить одну сложную задачу на несколько более простых. Второй принцип — весьма оригинальная идея применения законов оптики в механике.

Закон оптики, о котором идёт речь, называют принципом Ферма:

Из всех возможных путей свет выбирает тот путь, на который требуется наименьшее время.

Из этого одного единственного постулата вытекают все законы геометрической оптики, в частности, закон преломления света на границе двух сред, открытый голландцем В. Снеллом (van Snel van Royen) в 1621 году.



К закону Снелла
Рис. 2. К закону Снелла

Луч света из среды, в которой он имеет скорость v1 попадает в среду, где его скорость равна v2, найдём, применяя принцип Ферма, как связаны величины v1, v2 и α1, α2 (рис. 2). Время, необходимое для прохождения луча света от т. A до т. B, равно T(x) = a2 + x2 v1 + b2 + (c − x)2 v2 . В соответствии с принципом Ферма нужно найти минимум функции T(x), для чего требуется решить уравнение dT dx = 0, откуда получим x v1 a2 + x2 = c − x v2 b2 + (c − x)2 . или, что то же самое, sinα1 v1 = sinα2 v2

Обращаясь непосредственно к решению задачи, разобъём область, в которой лежит путь катящейся точки, на n полос ширины h (см. рис. 3) и предположим, что скорость* точки меняется скачками на границах полос, оставаясь постоянной внутри каждой области разбиения. Тогда скорость будет последовательно принимать следующие значения: vn = √2gnh, vn1 = √2g(n − 1)h, ... v1 = √2gh, (полосы разбиения считаем снизу), а точка двигаться по ломаной линии. При этом чем больше число n разбиений (и, соответственно, меньше величина h) будет браться, тем менее построенная ломаная линия будет отличаться от искомой кривой.


О брахистохроне
Рис. 3. К решению задачи о брахистохроне

Вспоминая закон Снелла и применяя его к материальной точке, получим sinαi sinαi+1 = 2gih 2g(i + 1)h

И, таким образом, имеем sinα1 h = sinα2 2h = ... = sinαn nh ,

т. е. отношение синуса угла между любым звеном ломаной и вертикалью к корню квадратному из расстояния соотвествующего слоя от верхней линии разбиения есть величина постоянная. В пределе при n → ∞ направление каждого звена ломаной перейдёт в касательную к искомой кривой, для которой будет, следовательно выполняться соотношение sinα = cy

где c — коэффициент пропорциональности, α — угол между касательной к кривой и вертикалью. Последнее условие однозначно определяет кривую, известную как циклоида. Таким образом, кривая наискорейшего спуска является циклоидой.

Нам осталось показать, что соотношение (1) необходимо и достаточно для того, чтобы кривая, ему удовлетворяющая, была циклоидой. Циклоида представляет собой траекторию, описываемую точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Для удобства обозначим угол между касательной к циклоиде и вертикалью через β/2, угол наклона касательной к горизонтали — γ, радиус «производящей» окружности обозначим r (см. рис. 4).


Циклоида
Рис. 4. Циклоида

Тогда уравнение циклоиды будет иметь вид x = r(β − sinβ),     y = r(1 − cosβ)

а условие (1) перепишется так: sin(β/2) = 1 2r y Поскольку 1 − cosβ = 2 sin2(β/2), из второго уравнения в (2) сразу следует условие (3). Обратно, имеем γ = π 2 β 2 ,     tgγ = ctg β 2 . Следовательно, dy dx = ctg β 2 , откуда dx dy = ctg β 2 ,     dx rsinβ = ctg β 2 и, после несложных преобразований, имеем простое дифференциальное уравнение dx = r(1 − cosβ), решение которого с учётом начального условия x(0) = 0, совпадает с первым уравнением из системы (2), задающей циклоиду.



* В силу закона сохранения кинетическая и потенциальная энергии нашей мате­риальной точки равны, т. е. 1 2 mv2 = mgy, где m — масса материальной точки, v — скорость, y — высота точки, g — ускорение свободного падения. Отсюда v = √2gy.